おうぎ形の問題で手が止まるとき、公式は覚えていても、「×中心角/360」の計算の途中で止まっていることがあります。2πr×120/360 を前にして、どこから約分すればいいか分からなくなる、という止まり方です。
この記事では、中心角を先に「円の何分のいくつ」に直してから計算するやり方で、おうぎ形の基本の公式と、入試でよく出る4つの形を順に整理します。上位の人向けの難問ではなく、「おうぎ形が出たら手が止まる」人が、基本の問題を確実に取るための記事です。
当サイトが16都道県の公立高校入試（令和4〜8年度）をもとに作った一問一答のカードを数えると、おうぎ形を扱ったカードは合わせて52枚で、年度まで確かめられたものは14都道県にありました（神奈川・愛知は、公式を確かめる基本のカードだけです）。円錐の展開図（側面のおうぎ形）を扱ったものは、年度まで確かめられたもので4都道県にありました。
1. まず結論｜おうぎ形は「円の何分のいくつ」で考える
おうぎ形の公式は、次の2つだけです（半径 r、中心角 a°）。
| 求めるもの | 公式 | 言葉にすると |
|---|---|---|
| 弧の長さ | 2πr × a/360 | 円周 × 円の何分のいくつ |
| 面積 | πr² × a/360 | 円の面積 × 円の何分のいくつ |
どちらにも出てくる a/360 は、「このおうぎ形は円の何分のいくつか」という意味です。中心角が90°なら 90/360＝1/4 で、円の4分の1。120°なら 1/3 で、円の3分の1です。
計算の手順は、いつも同じ3つです。
① 中心角 ÷ 360 を、先に約分して分数にする（120° → 1/3）
② 円周（2πr）か、円の面積（πr²）を出す
③ ②に①をかける
半径6cm、中心角120°なら、① 120/360＝1/3 ② 円周は 2π×6＝12π、円の面積は π×6²＝36π ③ 弧の長さは 12π×1/3＝4π（cm）、面積は 36π×1/3＝12π（cm²）です。2πr×a/360 を1本の式で一気に計算しようとするより、分数を先に作るほうが、途中で止まりません。
2. よく出る中心角は、分数で覚えてしまう
入試に出てくる中心角は、だいたい決まっています。次の表の分数がすぐ出てくれば、①の約分で迷いません。
| 中心角 | 円の何分のいくつ | 中心角 | 円の何分のいくつ |
|---|---|---|---|
| 30° | 1/12 | 135° | 3/8 |
| 45° | 1/8 | 144° | 2/5 |
| 60° | 1/6 | 150° | 5/12 |
| 90° | 1/4 | 180° | 1/2 |
| 120° | 1/3 | 270° | 3/4 |
表にない角度でも、やることは同じです。80°なら 80/360 を10でわって 8/36、さらに4でわって 2/9。360 の約数（2・3・4・5・6・8・9・10・12…）でわれるだけわる、と覚えておけば十分です。
3. 入試でよく出る4つの形
カードを見ると、おうぎ形の出かたは、ほぼ次の4つの形に分けられます。
形1 公式をそのまま使う（弧の長さ・面積）
「半径◯cm、中心角◯°のおうぎ形の弧の長さ（面積）を求めなさい」。いちばん多い形で、1章の3つの手順だけで解けます。答えは π をつけたまま（4π cm、12π cm² のように）書きます。
逆に、弧の長さと半径が分かっていて、面積を聞かれることもあります。そのときは、もう1つの公式
おうぎ形の面積 ＝ 1/2 × 弧の長さ × 半径（S＝(1/2)ℓr）
を使うと、中心角を出さずに求められます。半径6cm、弧の長さ4π cm なら、1/2×4π×6＝12π（cm²）。1章で出した答えと同じになります。
形2 円錐の展開図（側面のおうぎ形の中心角）
円錐を切り開くと、側面はおうぎ形、底面は円になります。このおうぎ形の半径は母線で、弧の長さは底面の円周と同じです（組み立てると、弧が底面のまわりにぴったりつくため）。
側面のおうぎ形の中心角 ＝ 360° × 底面の半径 ÷ 母線
底面の半径2cm、母線5cm なら、360°×2÷5＝144°。
この式は、「弧の長さ＝底面の円周」から出てきます。母線5cmの円の円周は 10π、底面の円周は 4π なので、おうぎ形は円の 4π/10π＝2/5。2/5×360°＝144° です。式を忘れたら、この「円周どうしの割り算」に戻れば出せます。
側面積（側面のおうぎ形の面積）は、π × 母線 × 底面の半径で、中心角を出さずに求められます。上の円錐なら π×5×2＝10π（cm²）。表面積は、これに底面の円の面積（π×2²＝4π）を足して 14π（cm²）です。底面を足し忘れないでください。
形3 ひいて求める面積（弓形・通過した部分）
色のついた部分が「おうぎ形そのもの」ではないときは、おうぎ形から、いらない部分をひきます。よく出るのは2つです。
- 弓形（弦と弧で囲まれた部分）＝ おうぎ形 − 三角形
- 線分が回転して通過した部分 ＝ 大きいおうぎ形 − 小さいおうぎ形
半径6cm、中心角90°なら、おうぎ形は 36π×1/4＝9π、三角形は 6×6÷2＝18 なので、弓形は 9π−18（cm²）。π のつく数とつかない数は、まとめずにそのまま「−」でつないで答えます。
形4 弧をつなげた長さ・回転させた立体
点が動いてできる曲線が、いくつかのおうぎ形の弧がつながった形になる問題では、半径か中心角が変わるところで区切り、弧の長さを1つずつ出して足します。また、中心角90°のおうぎ形を半径の1本を軸に1回転させると半球になる、という形も出ています。
4. 落としやすいところ5つ
- ① 「÷360」を忘れる。円周や円の面積を出したところで止めると、円まるごとの値になります。最後に「円の何分のいくつ」をかけたかを確かめます
- ② 弧の長さと面積の公式を取りちがえる。長さは 2πr（r は1回）、面積は πr²（r を2回かける）。単位も、長さは cm、面積は cm² です
- ③ 直径を半径として使う。図に「直径12cm」とあれば、半径は6cmです。式に入れる前に、半径を書き出しておきます
- ④ 円錐の中心角で、母線と底面の半径を逆にする。360°×底面の半径÷母線。母線のほうが長いので、答えは必ず360°より小さくなります。360°をこえたら、逆にしています
- ⑤ π を3.14にして計算する。問題に指示がなければ、π は記号のまま答えます
5. 練習問題（4問）
すべてオリジナルの問題です。答えは下にあります。まず「円の何分のいくつ」を書いてから計算してください。円周率は π とします。
第1問（公式）
半径9cm、中心角80°のおうぎ形の弧の長さと面積を求めなさい。
第2問（円錐の展開図）
底面の半径が3cm、母線の長さが8cmの円錐があります。
（1）この円錐の展開図で、側面のおうぎ形の中心角を求めなさい。
（2）この円錐の表面積を求めなさい。
第3問（弧の長さから面積）
半径12cm、弧の長さ4π cm のおうぎ形があります。
（1）このおうぎ形の面積を求めなさい。
（2）このおうぎ形の中心角を求めなさい。
第4問（ひいて求める面積）
半径8cm、中心角90°のおうぎ形OABがあります。弦ABと弧ABで囲まれた部分（弓形）の面積を求めなさい。
解答
第1問 弧の長さ 4π cm、面積 18π cm²
80/360＝2/9。円周は 2π×9＝18π、円の面積は π×9²＝81π。
弧の長さ 18π×2/9＝4π（cm）、面積 81π×2/9＝18π（cm²）。
※ 1/2×4π×9＝18π と、S＝(1/2)ℓr でも同じ答えになります。
第2問 （1）135° （2）33π cm²
（1）360°×3÷8＝135°。
（2）側面積は π×8×3＝24π、底面積は π×3²＝9π。表面積は 24π＋9π＝33π（cm²）。
※ 確かめ：半径8cm・中心角135°（＝3/8）のおうぎ形の弧は 16π×3/8＝6π で、底面の円周 2π×3＝6π と同じです。
第3問 （1）24π cm² （2）60°
（1）1/2×4π×12＝24π（cm²）。
（2）半径12cmの円周は 24π。弧の長さ 4π は円周の 4π/24π＝1/6 なので、中心角は 360°×1/6＝60°。
第4問 16π−32（cm²）
おうぎ形 π×8²×1/4＝16π、三角形OAB 8×8÷2＝32。弓形は 16π−32（cm²）。
※ 16π と 32 はまとめられないので、このまま答えます。
6. どの都道県で出ているか
当サイトが教材づくりで作った、16都道県の公立高校入試（令和4〜8年度）の一問一答のカードのうち、問題文か答えに「おうぎ形」を含むものを数えました（52枚・16都道県）。
| 都道県 | カード | 確認できた年度 | 都道県 | カード | 確認できた年度 |
|---|---|---|---|---|---|
| 北海道 | 6枚 | 2026 | 長野 | 2枚 | 2022・2026 |
| 青森 | 4枚 | 2024 | 愛知 | 1枚 | ― |
| 宮城 | 2枚 | 2024 | 滋賀 | 4枚 | 2022〜2024 |
| 秋田 | 3枚 | 2024・2026 | 奈良 | 2枚 | 2026 |
| 群馬 | 5枚 | 2026 | 和歌山 | 4枚 | 2022・2023 |
| 埼玉 | 5枚 | 2025・2026 | 広島 | 3枚 | 2024 |
| 東京 | 3枚 | 2023 | 福岡 | 4枚 | 2025 |
| 神奈川 | 2枚 | ― | 高知 | 2枚 | 2026 |
この52枚を、3章の形で分けて数えました。
| 形（問題文・答えに出てくる語） | カード | 都道県 |
|---|---|---|
| 形1 公式・弧の長さと面積の計算 | 41枚 | 16 |
| 形2 円錐の展開図・側面 | 12枚 | 8 |
| 形3 ひいて求める面積（弓形・通過した部分など） | 4枚 | 3 |
| 形4 弧をつなげた長さ／回転させた立体 | 2枚／2枚 | 1／2 |
※ 年度は、当サイトの教材づくりで確認できた範囲です。表にない年度に出題がなかったことを示すものではありません。カードは単元ごとの一問一答なので、1枚が入試の大問1つにあたるわけではありません。問題文・図は載せていません（各都道県の教育委員会が公開しているものをご覧ください）。「都道県」と書いているのは、北海道・東京都と県が混ざっているためです。
自分の都道府県の過去問がどこで手に入るかは、公立高校入試の過去問｜都道府県別リンク集にまとめています。おうぎ形は、図形の大問や小問集合の中で出てくることが多いので、過去問では「円」「円錐」の図が出てくる問題を探すと見つけやすくなります。
まとめ｜「円の何分のいくつ」を先に書けば、おうぎ形は止まらない
- 公式は2つ：弧の長さ 2πr×a/360、面積 πr²×a/360
- a/360 は「円の何分のいくつ」。先に約分して分数にしてからかける
- 弧の長さと半径が分かれば、面積＝1/2×弧の長さ×半径
- 円錐の側面：中心角＝360°×底面の半径÷母線、側面積＝π×母線×底面の半径。表面積は底面を足す
- 色のついた部分がおうぎ形でなければ、おうぎ形から三角形（または小さいおうぎ形）をひく
- 答えは π をつけたまま。π のつく数とつかない数はまとめない
おうぎ形は、手順が決まっている分、練習した分だけ確実に点になる単元です。まず1章の3つの手順と2章の表を、何も見ずに書けるようにしてください。
まず無料で力だめしをしたい方は → 入試に出る4択100問（無料・5教科・メールアドレスだけで受け取れます）
この記事のような「知っていれば取れる」知識を5教科ぶんまとめて確認したい方は、一問一答＆暗記カードをご覧ください。都道府県別の版と全国版があります。
